Logique

Logique , l'étude du raisonnement correct, d'autant plus qu'il s'agit de tirer des inférences.

Cet article aborde les éléments de base et les problèmes de la logique contemporaine et donne un aperçu de ses différents domaines. Pour le traitement du développement historique de la logique, voir logique, histoire de. Pour une discussion détaillée de domaines spécifiques, consultez les articles Logique appliquée, logique formelle, logique modale et logique, philosophie de.

Portée et concepts de base

Une inférence est une étape régie par des règles allant d'une ou plusieurs propositions, appelées prémisses, à une nouvelle proposition, généralement appelée conclusion. On dit qu'une règle d'inférence préserve la vérité si la conclusion tirée de l'application de la règle est vraie chaque fois que les prémisses sont vraies. Les inférences basées sur des règles préservant la vérité sont appelées déductives, et l'étude de ces inférences est connue sous le nom de logique déductive. Une règle d'inférence est dite valide, ou déductivement valide, si elle préserve nécessairement la vérité. Autrement dit, dans tout cas concevable où les prémisses sont vraies, la conclusion fournie par la règle d'inférence sera également vraie. Les inférences basées sur des règles d'inférence valides sont également dites valides.

La logique au sens étroit équivaut à la logique déductive. Par définition, un tel raisonnement ne peut produire aucune information (sous forme de conclusion) qui ne soit déjà contenue dans les locaux. Dans un sens plus large, proche de l'usage ordinaire, la logique comprend également l'étude des inférences susceptibles de produire des conclusions contenant des informations véritablement nouvelles. De telles inférences sont appelées ampliatives ou inductives, et leur étude formelle est connue sous le nom de logique inductive. Ils sont illustrés par les inférences tirées par des détectives intelligents, comme le fictif Sherlock Holmes.

Le contraste entre les inférences déductives et ampliatives peut être illustré dans les exemples suivants. De la prémisse «quelqu'un envie tout le monde», on peut valablement déduire que «tout le monde est envié par quelqu'un». Il n'y a aucun cas concevable dans lequel la prémisse de cette inférence est vraie et la conclusion fausse. Cependant, lorsqu'un scientifique légiste déduit de certaines propriétés d'un ensemble d'os humains l'âge approximatif, la taille et diverses autres caractéristiques de la personne décédée, le raisonnement utilisé est ampliatif, car il est au moins concevable que les conclusions qui en découlent soient trompé.

Dans un sens encore plus étroit, la logique se limite à l'étude des inférences qui ne dépendent que de certains concepts logiques, ceux exprimés par ce qu'on appelle les «constantes logiques» (la logique en ce sens est parfois appelée logique élémentaire). Les constantes logiques les plus importantes sont les quantificateurs, les connecteurs propositionnels et l'identité. Les quantificateurs sont les équivalents formels d'expressions anglaises telles que «il y a…» ou «il existe…», ainsi que «pour chaque…» et «pour tous…» Ils sont utilisés dans des expressions formelles telles que (∃ x ) (lire comme «il y a un individu, appelez-le x , de telle sorte qu'il soit vrai de x que…») et (∀ y ) (lire comme «pour chaque individu, appelez-le y , c'est vrai de ycette …"). Les connecteurs propositionnels de base sont approximés en anglais par «not» (~), «and» (&), «or» (∨), et «if… then…» (⊃). L'identité, représentée par ≡, est généralement rendue en anglais par «… is…» ou «… is identique to…» Les deux exemples de propositions ci-dessus peuvent alors être exprimés par (1) et (2), respectivement:

(1) (∃ x ) (∀ y ) ( x envie y )

(2) (∀ y ) (∃ x ) ( x envie y )

La manière dont les différentes constantes logiques d'une proposition sont liées les unes aux autres est connue sous le nom de forme logique de la proposition. La forme logique peut également être considérée comme le résultat du remplacement de tous les concepts non logiques d'une proposition par des constantes logiques ou par des symboles logiques généraux appelés variables. Par exemple, en remplaçant l'expression relationnelle «a envie b» par «E (a, b)» dans (1) et (2) ci-dessus, on obtient respectivement (3) et (4):

(3) (∃ x ) (∀ y ) E ( x , y )

(4) (∀ y ) (∃ x ) E ( x , y )

Les formules en (3) et (4) ci-dessus sont des représentations explicites des formes logiques des propositions anglaises correspondantes. L'étude des relations entre de telles formules non interprétées est appelée logique formelle.

Il convient de noter que les constantes logiques ont la même signification dans les formules logiques, telles que (3) et (4), que dans les propositions qui contiennent également des concepts non logiques, tels que (1) et (2). Une formule logique dont les variables ont été remplacées par des concepts non logiques (significations ou référents) est appelée proposition «interprétée», ou simplement «interprétation». Une façon d'exprimer la validité de l'inférence de (3) à (4) est de dire que l'inférence correspondante d'une proposition comme (1) à une proposition comme (2) sera valide pour toutes les interprétations possibles de (3) et (4).

Les inférences logiques valides sont rendues possibles par le fait que les constantes logiques, en combinaison avec des concepts non logiques, permettent à une proposition de représenter la réalité. En effet, cette fonction représentationnelle peut être considérée comme leur caractéristique la plus fondamentale. Une proposition G, par exemple, peut être valablement déduite d'une autre proposition F lorsque tous les scénarios représentés par F - les scénarios dans lesquels F est vrai - sont également des scénarios représentés par G - les scénarios dans lesquels G est vrai. En ce sens, (2) peut être valablement déduit de (1) parce que tous les scénarios dans lesquels il est vrai que quelqu'un envie tout le monde sont aussi des scénarios dans lesquels il est vrai que tout le monde est envié par au moins une personne.

Une proposition est dite logiquement vraie si elle est vraie dans tous les scénarios possibles, ou «mondes possibles». Une proposition est contradictoire si elle est fausse dans tous les mondes possibles. Ainsi, une autre façon d'exprimer la validité de l'inférence de F à G est de dire que la proposition conditionnelle «Si F, alors G» (F ⊃ G) est logiquement vraie.

Cependant, tous les philosophes n'acceptent pas ces explications de validité logique. Pour certains d'entre eux, les vérités logiques sont simplement les vérités les plus générales sur le monde réel. Pour d'autres, ce sont des vérités sur une certaine partie imperceptible du monde réel, qui contient des entités abstraites comme des formes logiques.

En plus de la logique déductive, il existe d'autres branches de la logique qui étudient les inférences basées sur des notions telles que savoir que (logique épistémique), croire que (logique doxastique), temps (logique tendue) et obligation morale (logique déontique), entre autres . Ces domaines sont parfois appelés collectivement logique philosophique ou logique appliquée. Certains mathématiciens et philosophes considèrent la théorie des ensembles, qui étudie les relations d'appartenance entre les ensembles, comme une autre branche de la logique.