Le théorème de Pythagore stipule que la somme des carrés sur les jambes d'un triangle rectangle est égale au carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) - en notation algébrique familière, a 2 + b 2 = c 2. Les Babyloniens et les Egyptiens avaient trouvé des triplets entiers ( a , b , c ) satisfaisant la relation. Pythagore (vers 580 - vers 500 avant JC) ou l'un de ses disciples a peut-être été le premier à prouver le théorème qui porte son nom. Euclide (vers 300 av.J.-C.) a offert une démonstration intelligente du théorème de Pythagore dans ses éléments , connue sous le nom de preuve du moulin à vent d'après la forme de la figure.
- Tracer des carrés sur les côtés de la droite Δ A B C .
- B C H et A C K sont des droites car ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, par construction.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , par 3.
- A C = A I et A B = A E , par construction.
- Par conséquent, Δ B A I ≅ Δ E A C , par le théorème côté-angle-côté (voir Encadré: Le pont des ânes), comme souligné dans la partie (a) de la figure.
- Dessiner C F parallèle à B D .
- Rectangle A G F E = 2Δ A C E . Ce résultat remarquable dérive de deux théorèmes préliminaires: (a) les aires de tous les triangles sur la même base, dont le troisième sommet se trouve n'importe où sur une ligne indéfiniment étendue parallèle à la base, sont égales; et (b) l'aire d'un triangle est la moitié de celle de tout parallélogramme (y compris tout rectangle) ayant la même base et la même hauteur.
- Carré A I H C = 2Δ B A I , par le même théorème de parallélogramme qu'à l'étape 8.
- Par conséquent, rectangle A G F E = carré A I H C , par étapes 6, 8 et 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , comme aux étapes 3 et 4.
- B C = B J et B D = A B , par construction comme à l'étape 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , comme à l'étape 6 et mis en évidence dans la partie (b) de la figure.
- Rectangle B D F G = 2Δ C B D , comme à l'étape 8.
- Carré C K J B = 2Δ J B A , comme à l'étape 9.
- Par conséquent, le rectangle B D F G = carré C K J B , comme à l'étape 10.
- Carré A B D E = rectangle A G F E + rectangle B D F G , par construction.
- Par conséquent, carré A B D E = carré A I H C + carré C K J B , par étapes 10 et 16.
Le premier livre d'Euclide de Elementscommence par la définition d'un point et se termine par le théorème de Pythagore et son inverse (si la somme des carrés des deux côtés d'un triangle est égale au carré du troisième côté, il doit s'agir d'un triangle rectangle). Ce voyage de la définition particulière à l'énoncé mathématique abstrait et universel a été considéré comme emblématique du développement de la vie civilisée. Un exemple frappant de l'identification du raisonnement d'Euclide avec la plus haute expression de la pensée était la proposition faite en 1821 par un physicien et astronome allemand d'ouvrir une conversation avec les habitants de Mars en leur montrant nos prétentions à la maturité intellectuelle. Tout ce que nous avions à faire pour attirer leur intérêt et leur approbation, disait-on, était de labourer et de planter de grands champs en forme de diagramme de moulin à vent ou, comme d'autres l'ont proposé,creuser des canaux évocateurs du théorème de Pythagore en Sibérie ou au Sahara, les remplir d'huile, les incendier et attendre une réponse. L'expérience n'a pas été tentée, laissant indécis si les habitants de Mars n'ont pas de télescope, pas de géométrie ou pas d'existence.
