Les géomètres suivant immédiatement Pythagore (c. 580 – c. 500 avant J.-C.) partageaient l'intuition fausse que deux longueurs quelconques sont «commensurables» (c'est-à-dire mesurables) par des multiples entiers d'une unité commune. Pour le dire autrement, ils croyaient que les nombres entiers (ou comptés), et leurs rapports (nombres rationnels ou fractions), étaient suffisants pour décrire toute quantité. La géométrie s'est donc facilement couplée à la croyance pythagoricienne, dont le principe le plus important était que la réalité est essentiellement mathématique et basée sur des nombres entiers. La manipulation des ratios, qui a d'abord eu lieu conformément à des règles confirmées par l'arithmétique, était particulièrement pertinente. La découverte des surds (les racines carrées des nombres qui ne sont pas des carrés) a donc miné les pythagoriciens: ne pouvait plus a : b =c : d (où a et b , disons, sont premiers) impliquent que a = n c ou b = n d , où n est un nombre entier. Selon la légende, le découvreur pythagoricien de quantités incommensurables, maintenant connu sous le nom de nombres irrationnels, a été tué par ses frères. Mais il est difficile de garder un secret en science.
Les Grecs de l'Antiquité n'avaient pas d'algèbre ou de chiffres hindous-arabes. La géométrie grecque était basée presque exclusivement sur un raisonnement logique impliquant des diagrammes abstraits. La découverte des incommensurables a donc fait plus que troubler la conception pythagoricienne du monde; elle a conduit à une impasse dans le raisonnement mathématique - une impasse qui a persisté jusqu'à ce que les géomètres de l'époque de Platon introduisent une définition de la proportion (rapport) qui rend compte d'incommensurables. Les principaux mathématiciens impliqués étaient l'Athénien Theaetet (c. 417–369 av. J.-C.), à qui Platon a consacré un dialogue entier, et le grand Eudoxe de Cnide (c. 390-c. 340 av. J.-C.), dont le traitement des incommensurables survit comme le livre V des euclidienne éléments .
Euclide a donné la simple preuve suivante. Un carré avec des côtés de longueur 1 unité doit, selon le théorème de Pythagore, avoir une diagonale d qui satisfait l'équation d 2 = 12 + 12 = 2. Supposons, conformément à l'espérance de Pythagore, que la diagonale peut être exprimé comme le rapport de deux entiers, disons p et q , et que p et q sont relativement premiers, avec p > q - en d'autres termes, le rapport a été réduit à sa forme la plus simple. Donc p 2 / q 2 = 2. Alors p 2 = 2 q 2, donc pdoit être un nombre pair, disons 2 r . En insérant 2 r pour p dans la dernière équation et en simplifiant, on obtient q 2 = 2 r 2, d'où q doit également être pair, ce qui contredit l'hypothèse que p et q n'ont pas de facteur commun autre que l'unité. Par conséquent, aucun rapport d'entiers - c'est-à-dire aucun «nombre rationnel» selon la terminologie grecque - ne peut exprimer la racine carrée de 2. Des longueurs telles que les carrés formés sur eux ne sont pas égaux à des nombres carrés (par exemple, Racine carrée de √ 2 , Racine carrée de √ 3, Racine carrée de √ 5, Racine carrée de √ 6,…) étaient appelés «nombres irrationnels».
