Les preuves de formules d'Archimède pour les surfaces et les volumes ont établi la norme pour le traitement rigoureux des limites jusqu'aux temps modernes. Mais la façon dont il a découvert ces résultats est restée un mystère jusqu'en 1906, quand une copie de son traité perdu La Méthode a été découverte à Constantinople (aujourd'hui Istanbul, Turquie).
Il s'est avéré qu'Archimède avait utilisé une méthode connue plus tard sous le nom de principe de Cavalieri, qui consiste à trancher des solides (dont les volumes sont à comparer) avec une famille de plans parallèles. En particulier, si chaque plan de la famille coupe deux solides en sections transversales de surface égale, les deux solides doivent avoir un volume égal ( voir figure). On peut considérer le solide comme une somme de telles sections, appelées indivisibles. Archimède a en fait élaboré sur ce principe, non seulement en comparant les sections correspondantes dans la zone, mais aussi en les «équilibrant» par la loi du levier.
L'idée de trancher par des plans parallèles a été redécouverte en Chine, et une preuve plus simple que le volume d'une sphère est les deux tiers du volume de son cylindre circonscrit, en utilisant uniquement des zones, a été donnée par Liu Hui en 263. La preuve ultime le long ces lignes ont été données par le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri dans son Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; «Une certaine méthode pour le développement d'une nouvelle géométrie d'indivisibles continus»). Cavalieri a observé ce qui se passe quand un hémisphère et son cylindre circonscrit sont coupés par la famille de plans parallèles à la base du cylindre: chaque section en forme de disque de la sphère a la même aire que la section annulaire correspondante du complément d'un cône en le cylindre ( voirfigure). La formule du volume de la sphère découle alors immédiatement du théorème d'Eudoxe selon lequel le volume d'un cône est un tiers du volume de son cylindre circonscrit.
